Acertijo #34: Marido y Mujer

Acertijo #34 de Acertijos Para Ti: Marido y Mujer

La edad de un hombre y la de su esposa suman 91 años.

La edad actual del hombre es el doble de la edad que tenía su esposa cuando él tenía la edad que tiene ella actualmente.

¿Cuántos años tienen ahora?

Directo al grano

Para resolver este acertijo necesitamos dos cosas: lógica y un pequeño conocimiento de las matemáticas.

La lógica es una habilidad cognitiva que, si eres seguidor de Acertijos Para Ti, has ido desarrollando poco a poco con nosotros a medida que hemos analizado y resuelto, hasta los momentos, 33 acertijos 😀.

El conocimiento básico en matemáticas que se requiere para resolver este acertijo, también lo has aprendido con nosotros a lo largo del trayecto recorrido.

Sin embargo, si eres nuevo o simplemente deseas refrescar un poco la memoria, te invitamos a que chequees el Acertijo #6: Los Dos Pastores, en él, encontrarás una pequeña explicación (junto con un ejemplo sencillo) acerca de las ecuaciones; herramienta que usaremos para, junto con nuestra lógica, resolver este acertijo.

Ecuaciones de primer grado con tres variables

Con el conocimiento que tenemos sobre ecuaciones de primer grado, podemos resolver este acertijo. Sin embargo, es cierto que siempre hemos trabajado con ecuaciones de primer grado con una o dos incógnitas, por lo que, de presentarse el caso en el que necesitemos resolver ecuaciones con tres incógnitas, probablemente se nos haga un poco más complicado.

Pasos para resolver un sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres variables:

  1. Elegir una variable y despejarla en una de las ecuaciones.
  2. La variable despejada en el primer paso, sustituirla en las otras dos ecuaciones.
  3. El resultado del paso anterior, será el tener dos ecuaciones con dos variables. Despejando una variable en una de estas ecuaciones y sustituyendo ese valor en la otra, nos hará obtener el valor final de una de las variables.
  4. Sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones obtenidas tras el paso número dos, el valor conseguido en el paso tres.

Veamos, a continuación, un ejemplo muy sencillo de cómo resolver un pequeño problema usando ecuaciones de primer grado con tres incógnitas.

Ejemplo

Antonio llevó a sus padres a cenar. Al final de la noche, la cuenta fue de 78 euros. Entre los tres consumieron 12 cervezas, 3 platos principales y 6 entrantes. Tenemos la siguiente información:

  • Todas las cervezas tenían el mismo precio, lo mismo sucede con los platos principales y los entrantes.
  • Un entrante cuesta el triple que una cerveza.
  • Un plato principal cuesta igual que 4 entrantes más 4 cervezas.

¿Cuánto cuesta cada cerveza, plato principal y entrante?

Planteamiento

Lo primero que debemos hacer es identificar que estamos tratando con tres variables:

  • X: «Precio de una cerveza».
  • Y: «Precio de un plato principal».
  • Z: «Precio de un entrante».

A partir de este momento, debemos construir, una a una, las ecuaciones que formarán parte de la solución de este problema.

«…consumieron 12 cervezas (12X), 3 platos principales (3Y) y 6 entrantes (6Z, «…Al final de la noche, la cuenta fue de 78 euros»:

12X + 3Y + 6Z = 78 (Ecuación 1)

«Un entrante (Z) cuesta el triple que una cerveza (3X)»:

Z = 3X (Ecuación 2)

«Un plato principal (Y) cuesta igual que 4 entrantes (4Z) más 4 cervezas (4X)»:

Y = 4Z + 4X (Ecuación 3)

Solución

En este caso, debido a la naturaleza del problema, ya se encuentran hechos los pasos uno y dos de la lista de pasos para resolver un sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres variables.

Lo siguiente será sustituir el valor de Z, sacado de la Ecuación 2, en la Ecuación 3:

Y = 4Z + 4X
Y = 4(3X) + 4X
Y= 12X + 4X
Y = 16X (Ecuación 4)

Hemos obtenido los valores de Z y de Y, basados únicamente en X. Por lo que ahora podemos sustituir ambos en la Ecuación 1, la cual quedará como una simple ecuación de primer grado con una variable:

12X + 3Y + 6Z = 78
12X + 3(16X) + 6(3X) = 78
12X + 48X + 18X = 78
78X = 78
X = 78/78
X = 1

Ahora, basta con sustituir en las Ecuaciones 2 y 4, respectivamente, el valor conseguido de X:

Z = 3X
Z = 3(1)
Z = 3
Y = 16X
Y = 16(1)
Y = 16

La cerveza cuesta 1 euro, el plato principal 16 euros y el entrante cuesta 3 euros.

De vuelta al Acertijo #34: Marido y Mujer de Acertijos Para Ti

Luego de esta larga pero sencilla (esperamos que sí) explicación, tenemos las herramientas necesarias para, finalmente, resolver este acertijo.

De igual forma, antes de iniciar, plantearemos aquí una pequeña ayuda acerca de cómo nombrar las variables para conseguir más fácilmente la solución de este acertijo:

  • X: «Edad actual del hombre».
  • Y: «Edad actual de la mujer».
  • Z: «Años transcurridos desde que el hombre tenía la edad actual de su esposa».

Debemos recordar que éste es el planteamiento que hemos decidido utilizar en Acertijos Para Ti, sin embargo, no es el único, por lo que si no estás del todo de acuerdo con esta orientación, puedes obviarla y seguir adelante con tu propio planteamiento.

¿Todo listo para comenzar? ¡Vamos a ello! 🏄‍♀️

Si ya has podido resolver el Acertijo #34 de Acertijos Para Ti, presiona el botón «¡Ver respuesta!» y chequea si estás en lo correcto:

Debido a la dificultad que puede representar el nombrar correctamente las variables a usar para solucionar este acertijo, usemos la orientación brindada en la sección anterior:

  • X: «Edad actual del hombre».
  • Y: «Edad actual de la mujer».
  • Z: «Años transcurridos desde que el hombre tenía la edad actual de su esposa».

Habiendo nombrado las variables correctamente, nos hemos quitado un gran peso de encima. Sin embargo, tenemos otro gran reto frente a nosotros: el construir correctamente las ecuaciones a usar.

Planteamiento

Vamos a evaluar el enunciado y, de allí, procederemos a crear nuestras ecuaciones:

«La edad de un hombre (X) y la de su esposa (Y) suman 91 años»:

X + Y = 91 (Ecuación 1)

«La edad actual del hombre (X) es el doble de la edad que tenía su esposa cuando él tenía la edad que tiene ella actualmente (?)».

Estamos frente a un gran reto, pues no parece ser muy fácil el lograr plantear una o más ecuaciones a partir del resto del enunciado.

Análisis

Veamos el problema de la siguiente manera: hace cierta cantidad de años (Z), el hombre tenía la edad que tiene actualmente su mujer (Y). Por lo tanto, la edad actual del hombre (X) hace Z años es equivalente a la edad actual de la mujer (Y):

X – Z = Y (Ecuación 2)

Ahora, para ese entonces (Z años atrás), en el que el hombre tenía la edad actual de su mujer, ¿qué edad tenía la mujer?, ella tenía su edad actual (Y) menos Z años. Por lo tanto, ya sabemos cómo representar esta parte del enunciado:

«…la edad que tenía su esposa cuando él tenía la edad que tiene ella actualmente»: Y – Z.

Retomamos la segunda parte del enunciado, aquella que no pudimos representar anteriormente:

«La edad actual del hombre (X) es el doble de la edad que tenía su esposa cuando él tenía la edad que tiene ella actualmente (2[Y – Z])»:

X = 2(Y – Z)
X = 2Y – 2Z (Ecuación 3)

Hemos conseguido las tres ecuaciones necesarias para resolver este acertijo.

Solución

Vamos a seguir los pasos para resolver un sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres variables.

1 – Elegir una variable y despejarla en una de las ecuaciones.

En la primera ecuación, vamos a despejar X:

X + Y = 91
X = 91 – Y

2 – La variable despejada en el primer paso, sustituirla en las otras dos ecuaciones.

En la Ecuación 2:

X – Z = Y
(91 – Y) – Z = Y
Z = 91 – 2Y

En la Ecuación 3:

X = 2Y – 2Z
(91 – Y) = 2Y – 2Z
3Y – 2Z = 91

3 – El resultado del paso anterior, será el tener dos ecuaciones con dos variables. Despejando una variable en una de estas ecuaciones y sustituyendo ese valor en la otra, nos hará obtener el valor final de una de las variables.

En el paso anterior, hicimos la primera parte de este paso («Despejando una variable en una de estas ecuaciones…»), pues ya sabemos que:

Z = 91 – 2Y

Por lo tanto, sustituimos Z en la segunda ecuación obtenida en el paso anterior:

3Y – 2Z = 91
3Y – 2(91 – 2Y) = 91
3Y – 182 + 4Y = 91
7Y = 91 + 182
7Y = 273
Y = 273 / 7
Y = 39

4 – Sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones obtenidas tras el paso número dos, el valor conseguido en el paso tres.

En este paso, debido a que la Ecuación 1 sólo depende de dos variables (X + Y = 91), podríamos sustituir el valor final de en ella y, así, obtener directamente el valor que necesitamos (X: «Edad actual del hombre»):

X + Y = 91
X + 39 = 91
X = 91 – 39
X = 52

¡Hemos resuelto el acertijo! Sin embargo, por curiosidad, ¿cuántos años han pasado desde que el hombre tenía la edad actual de su mujer?

Esto lo podemos saber simplemente restando sus edades (52 – 39 = 13) o, usando cualquier ecuación que incluya a Y. Usemos la Ecuación 2:

X – Z = Y
52 – Z = 39
Z = 52 – 39
Z = 13

¡Listo! La edad actual del hombre es 52 años, la de la mujer es 39 años y, los años transcurridos desde que el hombre tenía la edad de la mujer, son 13.

Comprobación del Acertijo #34: Marido y Mujer de Acertijos Para ti

El enunciado dice «La edad actual del hombre es el doble de la edad que tenía su esposa cuando él tenía la edad que tiene ella actualmente».

La edad que tenía la esposa cuando él tenía la edad que ella tiene actualmente, es:

39 – 13 = 26

El doble de 26 es 52. Por lo que, efectivamente, se cumple lo que indica el enunciado.

Finaliza el Acertijo #34: Marido y Mujer de Acertijos Para Ti

Hemos cubierto un nuevo tema: ecuaciones de primer grado con tres variables. Por lo que, a partir de ahora, haremos referencia a este acertijo cada vez que necesitemos usar este método para enfrentar futuros retos.

– ¿Era necesario usar tres variables?

No. Pudimos haber excluido y haber escrito directamente X – Y.

– Siendo así, ¿por qué se ha decidido usar tres variables en lugar de dos?

Dos razones:

  1. Pensamos que el planteamiento incial sería menos complicado de entender al escribir Z en lugar de X – Y.
  2. Quisimos aprovechar el momento para introducir en el contenido de Acertijos Para Ti los sistemas de ecuaciones de tres variables 😁.

Esperamos te haya gustado el Acertijo #34: Marido y Mujer de Acertijos Para Ti. ¡Nos vemos en el próximo!


Si tienes alguna duda respecto al planteamiento y/o solución del Acertijo #34 de Acertijos Para Ti, por favor, deja un comentario y de inmediato solventaremos tus inquietudes. También puedes usar el formulario de contacto para enviar un mensaje privado.

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